à Géométrie différentielle :
arc orienté : (I,M) et (J,P) de même orient si j chgmt de param de (I,M) à (J,P) est croissant
Def : pt stationnaire : G arc géom t0Î I A=M(t0)Î support G , si M’(t0)=0 alors A stationnaire
branche infinie si lim ||OM(t)||= +¥ qd tà t0
direction asymptotique : u tq lim OM(t)/||OM(t)||= u qd tà t0
Longueur : long (G )=ò ||F’(t)|| dt (entre a et b)
Abscisse curviligne : applic s tq s(t)=long(G ) si t³ t0 et -long(G ) si t<t0
G de cl C1 ss pt stationnaires et normalisé
Repère de Frénet : (M(t),T(t),N(t)) où T=dM/ds
Courbure : G de cl C2 ss pts stationnaires fct g tq dT/ds=g .N et dN/ds=-g .T
Def : G enveloppe de (Dt) si il a un param (I,M) tq " tÎ I, Dt tg à G en M(t)
Angle de contingence : j =(i,T)
g =dj /ds
| en cartésien : | | en polaires : | |
Surfaces :
Def : Nappe paramétrée : couple (U,M) : U ouvert de R² et M : Uà E (u,v)à M(u,v) continue
Surface={M(x,y,z)Î E, f(x,y,z)=0}
Au vois de A, S supprot d’une nappe
Plan tangent : si ¶ M/¶ u(u0,v0) et ¶ M/¶ v(u0,v0) libres (M0 régulier)
plan tg : (M0, ¶ M/¶ u(u0,v0),¶ M/¶ v(u0,v0))
Th : grad f (M0)¹ 0, le plan tg en M0 à S est le plan passant par M0 et normal à grad f (M0)
Position tg/surf :
Def : surf de révolution : réunion de cercles de même axe
Th : son eq peut s’exprimer en fct de AM et AM.u
à Compléments de calcul intégral :
Def : V applic : Uà Rn M(x1...xn)à V(M) |
 |
continue |
Forme diff assoc à V : w =S Vk.dxk
Si la forme diff w est df alors w est exacte
Def : Intégrale curviligne : ò G w =ò I S Vk(x1(t)...xn(t))xk’(t).dt
Formes diff exactes et fermées ...
Def : U étoilée / A si " MÎ U, AMÌ U
Intégrales doubles :
Th de Fubini :
[a,b] int de R, j 1 et j 2 applic C1 pm : [a,b]à R avec j 1£ j 2
D={(x,y)Î R², a£ x£ b j 1(x)£ y£ j 2(x)}
ò ò D f(x,y).dx.dy=ò [a,b] [ò [j 1,j 2] f(x,y).dy].dx
Chgmt de variables : D et D 2 compacts du plan j : Dà D C1-difféomorph
ò ò D f(x,y).dx.dy = ò ò D foj (u,v) |J(j )|.du.dv
Def : bord de D , ¶ D : frontière de D orienté tq D soit à gauche de la frontière dans le sens de parcours
Formule de Green Riemann :
Def : D compact du plan, aire (D)=ò ò D dx.dy
Intégrales triples :
Th de Fubini :
Chgmt de variables : cd chgmt pour int doubles ...
Calcul de volume : volume de D : ò ò ò D dx.dy.dz